ЛОГІСТИЧНІ МОДЕЛІ В ЗАДАЧАХ ЕКОНОМІЧНОЇ ДИНАМІКИ


В статті проаналізовані моделі логістичної динаміки різних за складністю по числу використаних в них параметрів, а також по області застосування. Представлено види логістичних моделей та їх основні характеристики, причому вибір моделі здійснюється залежно від змісту завдання - по більшій точності моделювання або по більшій точності прогнозування.

Постановка проблеми

Розглянемо систему математичних співвідношень між параметрами об'єктів економічної системи, що описується математичними засобами у вигляді рівнянь (алгебраїчних, диференціальних, різницевих, інтегральних), графіків, таблиць, схем та іншими засобами побудови, якими описуються закономірності основних суттєвих властивостей економічного процесу. При цьому не розглядаються другорядні властивості економічних об'єктів, параметрами яких при дослідженні суті економічного процесу можна нехтувати, оскільки вони лише незначною мірою впливають на закономірний процес.

Математичні моделі є абстрактними моделями оригіналів економічних моделей, що математичними засобами можуть описувати один і той же економічний процес, але з різними похибками наближення їх до реальності. Хоча ніякою моделлю неможливо повною мірою відобразити всі властивості й співвідношення між параметрами модельованого об'єк-та-оригінала.

У моделюванні економіки особливе місце займають рівноважні моделі, вони описують такий стан економічної системи, коли зміни всіх факторів процесу не можуть вивести її з стану рівноваги, тобто їх рівнодійна дорівнює нулю. Математичні моделі рівноважних економічних моделей є моделі макроекономіки.

У моделях статичних описується стан економічного об'єкта в певний момент або проміжок часу. У динамічних моделях описується функціональна залежність між зміною параметрів у процесі часу. Динамічні моделі звичайно використовують математичні засоби диференціальних і різницевих рівнянь.

Задачі економічної динаміки включають як опис процесів виведення системи до стану рівноваги, так і процесів трансформації самого цього стану під впливом зовнішніх сил. Економічна динаміка використовує математичний аналіз, варіаційне числення, графічні методи, теорію катастроф.

Економіко-математичні моделі економічної динаміки описують поведінку системи (дескриптивні). Застосовуються також оптимізаційні моделі для пошуку оптимального стану.

Процес дослідження динаміки економічних систем може здійснюватися за наступною схемою:

1. Постановка задачі;

2. Побудова економіко-матема-тичної моделі;

3. Розв'язання за допомогою чисельних та аналітичних методів;

4. Аналіз розв'язків;

5. Розробка рекомендацій щодо удосконалення управління змодельо-ваним процесом.

Зауважимо, що етапи постановки задачі і побудови економіко-матема-тичної моделі використовують звичайні методики моделювання.

На останньому етапі приймають рішення відповідно до мети дослідження. Як результат цього модель може бути доповнена новими рівняннями, що описують керуючі впливи. У цьому випадку варто провести повторний аналіз для визначення відповідності динаміки системи цілям її функціонування.

У залежності від типу динаміки системи, що досліджується, динамічні моделі можуть підрозділятися на дискретні і неперервні. В дискретних динамічних моделях використовуються різницеві рівняння або система різницевих рівнянь. В неперервних динамічних моделях використовуються диференційні рівняння або системи диференційних рівнянь. Крім того, в окремих випадках можуть зустрічатися системи зі змішаною динамікою. У цьому випадку для їхнього опису використовують диференційно-різни-цеві рівняння.

Аналіз основних досліджень і публікацій. В економічних динамічних системах з неперервним часом розглядається модель природного росту (ріст при постійному темпі). Рівняння природного росту має вигляд:

у =У0, , (1)

де y(t) - інтенсивність випуску продукції деякого підприємства (галузі),

k= map > 0 = const,

1/m - норма акселерації,

a - норма чистих інвестицій, тобто частина доходу ру, що витрачається на чисті інвестиції.

Рівнянням (1) описується також динаміка росту цін при постійному темпі інфляції, процеси радіоактивного розпаду і розмноження бактерій.

Інтегральна крива рівняння (1), що відповідає початковій умові y(0)=2, представлена на рис. 1.

Модель природного росту доцільно застосовувати на початкових етапах розвитку економічної системи протягом обмеженого проміжку часу, оскільки, з часом y може приймати які завгодно великі значення, що не може не позначитися на зміні ціни (яка у даній моделі вважається постійною).

Найбільш часто в економіці розглядається динаміка логістичного зростання обумовленого показника. При цьому його еволюція динаміки така, що швидкість його росту змінюється з часом (перша похідна логістичної функції додатна, друга похідна змінює свій знак з «+» на «-», проходячи через точку перегину), а його зростання є обмеженим: прагне до деякої межі. Логістична динаміка зменшення обумовленого показника зустрічається рідше: перша похідна від'ємна, а в точці перегину друга похідна змінює свій знак.

Логістична крива також описує деякі моделі поширення інформації, ефективність реклами, динаміку епідемій, процеси розмноження бактерій в обмеженому середовищі та ін.

На рис.2 представлений вид зростаючої логістичної моделі. Вона підходить для опису такого процесу, при якому визначається показник, коли проходить повний цикл розвитку.

З графіка логістичної кривої видно, що при малих t логістичний ріст схожий із природним ростом, однак при великих t характер росту міняється, темпи зростання сповільнюються і крива асимптотично наближається до прямої. Можна, звичайно, логістичну тенденцію вважати об'єднанням трьох різних за типом трендів: параболічного з прискореним зростанням на першому етапі, лінійного - на другому етапі і гіперболічного на третьому етапі.

В роботі [2] показано, що в загальному випадку положення точки перегину не є фіксованим, а крива, зображена на рис.2, не обов'язково буде симетричною: для неї значення ординати точки перегину завжди дорівнює половині рівня насичення.

На рис.3 представлені приклади

асиметричних логістичних моделей. Використовуються такі позначення: 0 - точка, відповідає половині рівня насичення; 1 - точка перегину знаходиться ліворуч половини рівня насичення; 2 - точка перегину знаходиться праворуч половини рівня насичення.

Приведемо області застосування логістичних функцій в економіко-ма-тематичному моделюванні [1]:

- життєві цикли товарів, зокрема, зміна попиту на товари, що володіють здатністю досягати деякого рівня насичення;

- частка насичення ринку новими товарами і послугами;

- оцінка зміни кількості сімей, які мають радіо і телебачення;

- зростання населення країни в страхових дослідженнях;

- розвиток біологічних популяцій;

- розвиток тих чи інших показників технологічних нововведень, зміна технологій;

- динаміка антисоціальної поведінки.

Виділення невирішених раніше частин загальної проблеми, яким присвячується стаття. Моделі логістичної динаміки спостережень рівнів обраного показника У, обов'язково містять логістичний тренд Dk та стохастичну компоненту є . Можлива присутність в моделі і сезонних, і циклічних компонент. Розглянемо найбільш просту адитивну структуру моделі часового

ряду:

ук = Dh + єк (2) а для стохастичної компоненти єк справедливими є умови Гаусса-Марко-ва, що дозволяє, застосовуючи метод найменших квадратів (МНК) для ідентифікації параметрів Dk, отримати їх оптимальні оцінки [3]. Відомо більше

двадцяти моделей логістичної динаміки різних за складністю і по кількості використаних в них параметрів, а також по області застосування.

Таким чином, при моделюванні економічної динаміки, заданої часовим рядом, шляхом згладжування вихідного ряду, визначення наявності тренда, відбору однієї або декількох кривих росту і визначення їх параметрів, - у разі наявності тренда отримують одну або декілька трендових моделей для вихідного часового ряду. Постає питання, наскільки ці моделі близькі до економічної реальності, відображеної в часовому ряду, наскільки обґрунтовано застосування цих моделей для аналізу та прогнозування досліджуваного економічного явища. Отже, інтерес представляє ідентифікація моделей логістичної динаміки за допомогою чисельного розв'язання.

Основний матеріал дослідження

Аналітичні вирази логістичних моделей, представлені в Табл. 1 [3-5].

Модель GRM містить наступні параметри f ,а, Л0, а і в табл.1 задана у рекурентному вигляді:

Задача оцінки параметрів (ідентифікація) логістичної функції в загальному випадку нетривіальна, оскільки застосування МНК безпосередньо до самої моделі вимагає мінімізації нелінійної функції помилки.

Так, у моделі Верхулста параметри оцінюються з застосуванням МНК:

за допомогою методу Левенберга-Марквардта, який є комбінацією градієнтного методу та методу Гаусса-Ньютона [6].

Ідентифікація моделі Рамсея здійснюється на основі конструювання узагальненої параметричної моделі авторегресії - ковзного середнього [3]:

Для ідентифікації моделі Гомпертця використовується метод Гаусса-Ньютона, який зводить завдання мінімізації нелінійної функції МНК до ітераційної мінімізації лінійних функцій [7].

При ідентифікації моделі GRM використовується евристичний алгоритм RPROP, розроблений в теорії нейронних мереж [8].

Вибір моделі здійснюється залежно від змісту завдання: по більшій точності моделювання або по більшій точності прогнозування, або з урахуванням обох характеристик.

Для характеристики якості моделювання використовується коефіцієнт детермінації [9, 10]:

ВИСНОВКИ З ДАНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ І ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО РОЗВИТКУ В ЦЬОМУ НАПРЯМКУ

Логістичні моделі являються потужним інструментом економічного аналізу, прогнозування та моделювання різних економічних процесів: моделювання інноваційних процесів, визначення оцінки підприємства на ринку, що розвивається, прогнозування продажів продукції, формування оптимального маркетингового бюджету.

Прогнозування на основі моделі кривої росту ґрунтується на продовженні в майбутнє тенденції, що спостерігалася в минулому. При такому підході зміну досліджуваного показника пов'язують лише з плином часу; вважається, що вплив інших факторів несуттєво або побічно позначається через фактор часу.

Використання S-образних кривих в технологічному прогнозуванні обумовлено простотою їх застосування, наведені методи визначення параметрів кривої дозволяють в короткий термін зробити прогноз про розвиток технології. Але, незважаючи на широке застосування моделей, можна виділити невеликі мінуси. Вони виходять з того, що за допомогою моделі прогнозування важко уявити, як точно поведе себе в майбутньому розвиток, а прогноз може бути і умовним.

Таким чином, доведена раціональність використання економіко-математичних моделей на основі логістич-них кривих при вирішенні багатьох економічних проблем.

[Завантажити PDF версію]


Ключові слова:  модель природного росту, логістичний тренд, різницеві рівняння.

РИЗИК - МЕНЕДЖМЕНТ

Зінькевич Тетяна
к.е.н, доцент кафедри корпоративних фінансів і контролінгу

Лісовська Валентина
канд. фіз. – мат. наук, доц., заст. зав. кафедри вищої математики ДВНЗ «Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана»

Мельник Ольга
к.ф.-м.н., доцент, кафедра вищої математики




©  2001 - 2024  securities.usmdi.org